【题目】在如图所示的多面体中,已知
,
,
是正三角形,
,
,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)求到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)D到平面BCE的距离为.
【解析】【试题分析】(1)取的中点
,连接
,利用三角形的中位线,可证得
,即四边形
为平行四边形,所以
,所以
平面
.(2)通过计算证明
,而
,故
平面
,故
,也即
,结合
可知
平面
,也即
平面
,故平面
平面
.(3)连接
,由(2)的结论,易知
就是所求的距离.
【试题解析】
(Ⅰ)取的中点
,连接
,因
为
的中点,
所以,又AB
,
所以,四边形
为平行四边形,
所以MB//AF,
因为平面
,
平面
,
所以平面
(Ⅱ)因为是正三角形,所以
,
在中,
,
所以,故
,
∴DE⊥AC,又DE⊥AD,AC∩AD=A
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥AF,又AF⊥CD,由(Ⅰ)得BM∥AF
∴DE⊥BM, BM⊥CD,DE∩CD=D
∴BM⊥平面CDE,BM平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
(Ⅲ)连接DM,由于DE=DC
∴DM⊥CE
由(Ⅱ)知,平面BCE⊥平面CDE,
∴DM⊥平面BCE
所以DM为D到平面BCE的距离,DM=
所以D到平面BCE的距离为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年“十一”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速()分成六段:
,
,
,
,
,
,后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;
(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在
的车辆恰有一辆的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前
项和
,对任意正整数
,总存在正数
使得
,
恒成立:数列
的前
项和
,且对任意正整数
,
恒成立.
(1)求常数的值;
(2)证明数列为等差数列;
(3)若,记
,是否存在正整数
,使得对任意正整数
,
恒成立,若存在,求正整数
的最小值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不过原点的直线
与椭圆
相交于
两点,与直线
相交于点
,且
是线段
的中点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学生对某小区30位居民的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的,饮食以肉类为主).
(1)根据茎叶图,说明这30位居民中50岁以上的人的饮食习惯;
(2)根据以上数据完成如下2×2列联表;
主食蔬菜 | 主食肉类 | 总计 | |
50岁以下 | |||
50岁以上 | |||
总计 |
(3)能否有99%的把握认为居民的饮食习惯与年龄有关?
独立性检验的临界值表
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知
分别为椭圆
的左、右焦点,且椭圆经过点
和点
,其中
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
椭圆于另一点
,点
在直线
上,且
.若
,求直线
的斜率.
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