Question

【题目】关于的函数.

（Ⅰ）若为单调函数，试求实数的取值范围；

（Ⅱ）讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）分两种情况， 时， 时，分别求导研究函数的单调性；（2）结合第一问的单调性，和函数图像，从三方面来考虑函数的变化趋势或， ， 或时。

解析：

（Ⅰ）的定义域为，

①时， 恒成立，故为单调递增函数.

②时，令，

.

当时， ，

当时， .

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴为的极大值点，也是上的最大值点.

若，得

∴时， ，则，∴在上单调递减.

综上，若为单调函数，实数的取值范围是.

若使用变量分离法，参照标准给分.

（Ⅱ）由题设知， ，

①由（Ⅰ）知， 或时， 单调，故只一个零点.

②若得得，

则.

当或时，即，

当时.即.

在和上单调递减，在上单调递增，

∴的极小值点，极大值点.

又，

根据函数的增长速度， 时， 时，

∴有两个零点，一个在区间，另一个为.

③或时，有.

又在上单调递增，在上单调递减，

且， 时，

故必存在不为1的， ，使得，

故时， ，则； 时， ，则.

∴在和上单调递减，在上单调递增.

时， ，故，由及时， 时知， 有三个零点.

时，

∵.

，即，

∴必有且， .

又时， 时，

故有三个零点.

综上， 或等时， 只一个零点； 时， 有两个零点； 或时， 有三个零点.