Question

【题目】已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当△OMN面积取最小值时，求此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

(1)由和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，求出a,b，即可得出椭圆方程；

(2)联立直线和椭圆方程可得,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件即可求出结果.

（1）∵和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，∴依题意，，又，故．由得b2=3．

故所求椭圆C的方程为．

（2）由，消y得，

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，

，整理得．

由条件可得，，．

所以．①

将代入①，得．

因为，所以，

当且仅当，则，即时等号成立，有最小值．

因为，所以，又，解得．

故所求直线方程为或．