Question

【题目】已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.

（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；

（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）设，可求出的解为，从而可知当时，成立，即可证明函数在区间内必有局部对称点；

（2）由题意知在R上有解，令，则在上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在上根的个数，得到关于的不等式，从而可求出实数m的取值范围.

证明：（1）设，则，令，则，

解得，即当时，，即成立，

即函数在区间内必有局部对称点

解：（2），则在R上有解.

即在R上有解，

于是（*）在R上有解.

令，则，所以方程（*）变为，

设，则，

由，在上单调递增知，，，，

即此时，所以函数在上单调递减；

设，则，

由，在上单调递增知，，，，

即此时，所以函数在上单调递增；

故，从而已知即在上有解.

设（），分为两种情况：

①当方程有在唯一解时：

则或，

解得，；解得，，

则；

②当方程在有两个解时：.

综上得.