Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB₁与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB₁与CD的夹角为45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证DE为异面直线AB₁与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB₁与CD垂直相交即可；
（2）将AB₁平移到DG，故∠CDG为异面直线AB₁与CD的夹角，作HK⊥AC₁，K为垂足，连接B₁K，由三垂线定理，得B₁K⊥AC₁，因此∠B₁KH为二面角A₁-AC₁-B₁的平面角，在三角形B₁KH中求出此角即可．

解答：解：（1）连接A₁B，记A₁B与AB₁的交点为F．
因为面AA₁BB₁为正方形，故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，
又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，
又D为BB₁的中点，
故DE∥BF，DE⊥AB₁．
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA₁B₁B．连接DG，则DG∥AB₁，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE为异面直线AB₁与CD的公垂线．
（2）因为DG∥AB₁，故∠CDG为异面直线AB₁与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB₁=2

2

，DG=

2

，CG=

2

，AC=

3

．
作B₁H⊥A₁C₁，H为垂足，因为底面A₁B₁C₁⊥面AA₁CC₁，故B₁H⊥面AA₁C₁C．又作HK⊥AC₁，K为垂足，连接B₁K，由三垂线定理，得B₁K⊥AC₁，因此∠B₁KH为二面角A₁-AC₁-B₁的平面角．
B₁H=

2 6

3

，C₁H=

3

3

，AC₁=

7

，HK=

2 21

21

tan∠B₁KH=

14

，
∴二面角A₁-AC₁-B₁的大小为arctan

14

．

点评：本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．