Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，b≥c，已知B（-1，0），C（1，0）．   
（1）求顶点A的轨迹L；   
（2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据b，a，c成等差数列可得b+c=2a即|AB|+|AC|=4＞|BC|=2再结合b≥c可得点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点）然后根据椭圆的定义即可写出点A的轨迹方程．
（2）可假设存在直线m满足题意则根据弦长公式可知要求|PQ|需将直线m与曲线L的方程联立消去y然后根据根与系数的关系求出x₁+x₂，x₁•x₂再代入弦长公式即可求出|PQ|但在写出过点B的直线时吥不知斜率存在与否故需对直线m的斜率存在与否进行讨论．

解答：解：（1）由题设知b+c=2a，|BC|=2
∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4
        又∵b≥c
∴由椭圆的定义知点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点）即轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

=1（-2＜x≤0）
    （2）假设存在直线m满足题意
        ①当m斜率存在时设m的方程为y=k（x+1），把它代入椭圆方程，消去y得（4k²+3）x²+8k²x-12+4k²=0．
          设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）则x₁+x₂=-

8k2

4k2+3

，x₁•x₂=

4k2-12

4k2+3

          又∵x₁≤0，x₂≤0
∴x₁x₂≥0
∴k²≥3，
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2]

=

12(k2+1)

4k2+3

          设原点O到直线m的距离为d，则d=

|k|

k2+1

∵|PQ|=

1

d

∴

12(k2+1)

4k2+3

=

k2+1

|k|

∴k²=

-15+3 33

32

＜3，这与k²≥3矛盾，表明直线m不存在
      ②当斜率不存在时m的方程为x=-1，此时|PQ|=|y₁-y₂|=3，d=1，|PQ|≠

1

d

，
        所以不满足题设
       综上，满足题设的条件不存在

点评：本题主要对直线与圆锥曲线的综合问题的考察．解题的关键是第一问要求出点A所满足的关系式|AB|+|AC|=4＞|BC|=2然后再根据椭圆的定义再结合限制条件即可求出点A的轨迹方程而对于第二问常用的解题思路是先假设这样的直线m存在然后根据题中的条件看是否能求出此直线但再利用弦长公式求|PQ|时需将直线m与曲线L的方程联立消去y然后根据根与系数的关系求出x₁+x₂，x₁•x₂故需对直线m的斜率的存在性进行讨论！