Question

10．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=$\sqrt{2}$，∠B=∠A+$\frac{π}{2}$．
（1）求sinA的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A为锐角，由正弦定理可得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{cosA}{\sqrt{2}}$，两边平方整理可解得sinA的值．
（2）利用三角形内角和定理可求C，由正弦定理可得c，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵a=1，b=$\sqrt{2}$，B=A+$\frac{π}{2}$．
∴A为锐角，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{1×sin（A+\frac{π}{2}）}{\sqrt{2}}$=$\frac{cosA}{\sqrt{2}}$，两边平方整理可得：sin²A=$\frac{1-si{n}^{2}A}{2}$，解得：sinA²=$\frac{1}{3}$，有sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵C=π-A-B=$\frac{π}{2}$-2A，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{1×sin（\frac{π}{2}-2A）}{sinA}$=$\frac{cos2A}{sinA}=\frac{2co{s}^{2}A-1}{sinA}=\frac{1-2si{n}^{2}A}{sinA}$=$\frac{1-2×（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题．