Question

15．已知C为圆x²+y²=4上一点，A（-2，0），B（2，0），连接AC，BC分别交直线x=3与P，Q两点，M为PQ中点，求证：以PQ为直径的圆经过定点．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐标，可得M的坐标，求出以PQ为直径的圆的方程，设y=0，即可得以PQ为直径的圆经过定点．

解答 证明：设直线AC的方程为y=k（x+2），则直线AB的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2），
x=3时，可得P（3，5k），Q（3，-$\frac{1}{k}$），
∴M（3，$\frac{1}{2}$（5k-$\frac{1}{k}$）），
∴以PQ为直径的圆的方程为（x-3）²+[y-$\frac{1}{2}$（5k-$\frac{1}{k}$）]²=（$\frac{5k+\frac{1}{k}}{2}$）²，
设y=0，可得x=3±$\sqrt{5}$，
∴以PQ为直径的圆经过定点（3±$\sqrt{5}$，0）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查以PQ为直径的圆经过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．