Question

7．求证：$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N₊）．

Answer 1

分析 n≥2，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用叠加法，即可证明结论．

解答 证明：n≥2，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＜2-$\frac{1}{n}$；
$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＞1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N₊）．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法，考查叠加法，正确放缩是关键．