Question

16．f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$的递增区间为（-∞，-1），和[-1，0）．

Answer 1

分析 设t=x²-1，利用函数y=$\frac{1}{t}$和一元二次函数的单调性进行求解即可．

解答 解：设t=x²-1，则y=$\frac{1}{t}$在（0，+∞）和（-∞，0）上为减函数，
由t=x²-1＞0得x＞1或x＜-1，则当x＞1时，函数t=x²-1为增函数，而y=$\frac{1}{t}$为减函数，此时f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$为减函数，
则当x＜-1时，函数t=x²-1为减函数，而y=$\frac{1}{t}$为减函数，此时f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$为增函数，对应的增区间为（-∞，-1），
由t=x²-1＜0＞0得-1＜x＜1，则当0≤x＜1时，函数t=x²-1为增函数，而y=$\frac{1}{t}$为减函数，此时f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$为减函数，
则当-1＜x≤0时，函数t=x²-1为减函数，而y=$\frac{1}{t}$为减函数，此时f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$为增函数，对应的增区间为[-1，0），
综上函数的递增区间为（-∞，-1），和[-1，0）．
故答案为：（-∞，-1），和[-1，0）

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．