Question

【题目】已知点P到直线y＝﹣4的距离比点P到点A（0，1）的距离多3．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）经过点Q（0，2）的动直线l与点P的轨交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）存在，R的坐标（0，﹣2）．

【解析】

（1）根据条件转化为到的距离与它到直线的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点的轨迹方程；

（2）利用对称性可得在轴上，设，再结合，则，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得，进而求得的值.

（1）因为点P到A（0，1）的距离比它到直线y＝﹣4的距离小3，

所以点P在直线y＝﹣4的上方，点P到A（0，1）的距离与它到直线y＝﹣1的距离相等

所以点P的轨迹C是以A为焦点，y＝﹣1为准线的抛物线，

所以方程为x2＝4y；

（2）当动直线l的斜率为0时，由对称性可得R在y轴上，设为R（0，t），

设直线l的方程为y＝kx+2，联立，整理得x2﹣4kx﹣8＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，

所以

，

因为k≠0，所以，则R（0，﹣2），

综上，R的坐标（0，﹣2）．