Question

5．已知函数f（x）=|x+4|+|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞8；
（2）设函数f（x）的最小值为a，正实数m，n，s满足m+2n+2s=a，求m²+n²+s²的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a的值，得到m+2n+2s=6，根据不等式的性质求出m²+n²+s²的最小值即可．

解答 解：（1）由题意f（（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+2，x≥2}\\{6，-4＜x＜2}\\{-2x-2，x≤-4}\end{array}\right.$，
∴当x≥2时，2x+2＞8，解得：x＞3，
当-4＜x＜2时，无解，
当x≤-4时，-2x-2＞8，解得：x＜-5，
综上，{x|x＞3或x＜-5}为所求；
（2）∵f（x）=|x+4|+|x-2|≥|x+4-（x-2）|=6，解得：a=6，
∴m+2n+2s=6，
∴m²+n²+s²=$\frac{1}{9}$（m²+n²+s²）（1+2²+2²）≥$\frac{1}{9}$（m+2n+2n）²=4，
∴m²+n²+s²的最小值是4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质，是一道中档题．