Question

15．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且满足（n+1）a_n=2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_ncos（πa_n），求数列{b_n）的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（n+1）a_n=2S_n，可得（n+2）a_n+1=2S_n+1．两式相减，得（n+1）a_n=na_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$．利用累乘求积方法即可得出．
（Ⅱ）解法1：b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ，利用错位相减法即可得出．
解法2：b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-n，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵（n+1）a_n=2S_n，∴（n+2）a_n+1=2S_n+1．
两式相减，得（n+1）a_n=na_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{3}{2}•\frac{2}{1}$×1=n．
（Ⅱ）解法1：∵b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ，
∴T_n=1×（-1）+2×（-1）²+3×（-1）³+4×（-1）⁴+…+n×（-1）ⁿ，①
-T_n=1×（-1）²+2×（-1）³+3×（-1）⁴+4×（-1）⁵+…+n×（-1）ⁿ⁺¹．②
①-②，整理得
2T_n=-1+（-1）²+（-1）³+（-1）⁴+…+（-1）ⁿ-n（-1）ⁿ⁺¹=$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$--n（-1）ⁿ⁺¹
∴T_n=$\frac{2n+1}{4}$（-1）ⁿ-$\frac{1}{4}$．
解法2：b_n=a_ncos（πa_n）=ncosnπ=n（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-n，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．
当n为偶数时，T_n=-1+2-3+4-5+6…-（n-1）+n=$\frac{n}{2}$，
当n为奇数时，T_n=-1+2-3+4-5+6-…+（n-1）-n=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$．
∴T_n=$\frac{2n+1}{4}$（-1）ⁿ-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了累乘求积方法、数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．