Question

6．已知函数f（x）=asin2x-cos²x+sin²x过点（$\frac{π}{6}$，1）．
（1）求a的值，并写出f（x）的单调递增区间；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，f（β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）利用二倍角公式和辅助角公式化简，将坐标点（$\frac{π}{6}$，1），求解a，可得解析式，再求解f（x）的单调递增区间；
（2）根据f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，f（β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，求出α，β的关系式，利用α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），结合和与差的公式构造cos（α-β），即可求其值．

解答 解：函数f（x）=asin2x-cos²x+sin²x，
化简可得：f（x）=asin2x-cos2x，
∵f（x）图象过点（$\frac{π}{6}$，1）．
∴1=asin$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{3}$，
即1=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$
可得：a=$\sqrt{3}$
那么：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∴f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z，
（2）∵f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，f（β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，
可得：f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（$α+β+\frac{π}{2}$）=2cos（α+β）=$\frac{6}{5}$，
∴cos（α+β）=$\frac{3}{5}$
f（β+$\frac{π}{3}$）=2sin（$2β+\frac{π}{2}$）=2cos2β=$\frac{8}{5}$，
∴$cos2β=\frac{4}{5}$．
又∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜α+β＜π，0＜2β＜π，
∴sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，sin2β=$\frac{3}{5}$，
那么：cos（α-β）=cos[（α+β）-2β]=cos（α+β）cos2β+sin（α+β）sin2β=$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．考查了和与差的公式和构造思想的运用．属于中档题．