Question

17．已知O为原点，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，
过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA方程：x-ay=0交点是A（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），
|OA|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$，P点到OA的距离是：d=$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∵|OA|•d=1，
∴|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$•$\frac{|m-na|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=1，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-n²=1，
∴a=2，∴双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．