Question

5．已知x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，若x+2y≥a恒成立，则实数a的范围为（-∞，8]．

Answer 1

分析 由x+2y≥a恒成立，可得a不大于x+2y的最小值，运用乘1法和基本不等式，可得x+2y的最小值为8，求出a的范围即可．

解答 解：x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，可得
x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=4+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥4+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$=8，
当且仅当x=2y=4，取得最小值8．
由x+2y≥a恒成立，可得a≤8，
故答案为：（-∞，8]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．