Question

15．正方体的截面不可能是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是（　　）

• A． ①②⑤
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 如图所示截面为三角形ABC，设OA=a，OB=b，OC=c，应用余弦定理，证明是锐角三角形；如图，取相对棱的中点和相对顶点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形；经过正方体的一个顶点去截就可得到5边形．但此时不可能是正五边形．

解答 解：如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，
AC²=a²+c²，AB²=a²+b²，BC²=b²+c²
∴cos∠CAB=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}=\frac{2{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$＞0，
∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形；
如右图，取相对棱的中点，得到的四边形是菱形；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，
如图为正六边形；
经过正方体的一个顶点去切就可得到5边形．
但此时不可能是正五边形．
故不可能是①②④．
故选：B

点评 此题主要考查了正方体的截面．解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形