Question

4．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f′（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，$\frac{2f（x）+xf′（x）}{x-1}$＞0，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为-$\frac{3}{4}$，则f（1）=$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，g（x）的单调区间和极值点，可得g′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f′（1）=-$\frac{3}{4}$，即可得出．

解答 解：当x＞0且x≠1时，$\frac{2f（x）+xf′（x）}{x-1}$＞0，
可得：x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；1＞x＞0时，2f（x）+xf′（x）＜0．
令g（x）=x²f（x），x∈（0，+∞）．
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]．
可得：x＞1时，g′（x）＞0；1＞x＞0时，g′（x）＜0．
可得：函数g（x）在x=1处取得极值，
∴g′（1）=2f（1）+f′（1）=0，f′（1）=-$\frac{3}{4}$，
∴f（1）=$-\frac{1}{2}×（-\frac{3}{4}）$=$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值及其切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．