Question

14．已知直线l：2x+my-2-3m=0（m∈R）．
（1）判断直线l与圆x²+y²-4x-6y+9=0的位置关系，并说明理由；
（2）求实数m的取值范围，使得总能找到一个同事满足下列条件的圆与直线l相切：①面积为π；②其某条直径的两端点分别在两个坐标轴上．

Answer 1

分析 （1）求出直线恒过的坐标，判断与圆的位置关系可得答案；
（2）由题意，面积为π，可知动圆半径为1；两端点分别在两个坐标轴上，可知圆必过（0，0），设出圆心为（a，b），可得a²+b²=1，则动圆的圆心C在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，从而可得动圆C扫过的区域为x²+y²≤4，根据直线与圆相切，即可求实数m的取值范围．

解答 解：直线l：2x+my-2-3m=0（m∈R）．即m（y-3）+2x-2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-3=0}\\{2x-2=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴直线恒过的坐标为P（1，3）
∵圆x²+y²-4x-6y+9=0，带入P可得1+9-1-18+9＜0，
∴P（1，3）在圆的内部，
故得直线l与圆x²+y²-4x-6y+9=0必相交．
由题意，面积为π，可知动圆半径为1；两端点分别在两个坐标轴上，可知圆必过（0，0），设出圆心为（a，b），可得a²+b²=1，则动圆的圆心C在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，从而可得动圆C扫过的区域为x²+y²≤4，
∵圆与直线l相切：
∴动直线必过扫过的区域x²+y²≤4，
可得：原心（0，0）到动直线的距离小于等于2，即$\frac{|2×0+m×0-2-3m|}{\sqrt{4+{m}^{2}}}≤2$，
解得：$\frac{-6-4\sqrt{6}}{5}$$≤m≤\frac{-6+4\sqrt{6}}{5}$．
故得实数m的取值范围[$\frac{-6-4\sqrt{6}}{5}$，$\frac{-6+4\sqrt{6}}{5}$]．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．