Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{1}{2}（a+c）×2b$=3$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）令A（x₀，y₀），当AB斜率为0或不存在时，可得S_ABCD=8$\sqrt{3}$．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y=kx+y₀-kx₀．代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-8k（kx₀-y₀）x+4$（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}$-12=0，根据AB与椭圆相切，可得△=0，化为：k²${x}_{0}^{2}$-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-3-4k²=0，同理可得AD与椭圆相切，可得：${x}_{0}^{2}$+2kx₀y₀+${k}^{2}{y}_{0}^{2}$-3k²-4=0．进而得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{1}{2}（a+c）×2b$=3$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）令A（x₀，y₀），当AB斜率为0或不存在时，可得S_ABCD=8$\sqrt{3}$．
当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y=kx+y₀-kx₀．代入椭圆方程可得：3x²+4$（kx-k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}=12$，
化为：（3+4k²）x²-8k（kx₀-y₀）x+4$（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}$-12=0，∵AB与椭圆相切，可得△=$64{k}^{2}（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}$-4（3+4k²）$[4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12]$=0，化为：k²${x}_{0}^{2}$-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-3-4k²=0，①．
同理可得AD与椭圆相切，可得$（-\frac{1}{k}）^{2}{x}_{0}^{2}$-2$（-\frac{1}{k}）$x₀y₀+${y}_{0}^{2}$-3-4$（-\frac{1}{k}）^{2}$=0，化为：${x}_{0}^{2}$+2kx₀y₀+${k}^{2}{y}_{0}^{2}$-3k²-4=0．②
①+②可得：${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=7．即A点在以原点为圆心，$\sqrt{7}$为半径的圆上．
∴ABCD为以原点为圆心，$\sqrt{7}$为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD为正方形时面积最大．
可得S_ABCD=14．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为△=0、圆的标准方程及其性质、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．