Question

20．已知函数f（x）=x³-x．
（1）求曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）令f′（x）＞0得增区间，令f′（x）＜0得减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-x的导数f′（x）=3x²-1，
则在点M（1，0）处的切线斜率为3-1=2，
故曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程为y=2（x-1），即y=2x-2．
（2）令f′（x）＞0得x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
令f′（x）＜0，则-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故f（x）的增区间为（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）和（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）；减区间为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值，考查函数与方程的转化思想，属于中档题．