Question

10．过棱长为1的正方体的一个顶点作该正方体的截面，若截面形状为四边形，则下列选项中不可能为该截面面积的是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设过顶点A作正方体的截面AEFG与底面ABCD所成的角为θ，利用关系式：$\frac{{S}_{底面ABCD}}{{S}_{截面AEFG}}$=cosθ，得出S_截面AEFG＞1又当截面AEFG是正方体的对角面AB₁C₁D时，其面积最大，最大为$\sqrt{2}$，从而得到截面面积的取值范围．

解答 解；如图所示，
，，
设过顶点A作正方体的截面AEFG与底面ABCD所成的角为θ，
则有：$\frac{{S}_{底面ABCD}}{{S}_{截面AEFG}}$=cosθ，
∴S_截面AEFG=$\frac{{S}_{底面ABCD}}{cosθ}$＞1，
又当截面AEFG是正方体的对角面AB₁C₁D时，其面积最大，最大为$\sqrt{2}$，
则截面面积的取值范围是 （1，$\sqrt{2}$]．
故选：D

点评 本小题主要考查棱柱的结构特征、正方体的结构特征的应用、正方体的截面等基础知识，考查空间想象能力．