Question

4．已知函数f（x）=-2（x+a）lnx+x²-2ax-2a²+a，其中a＞0，设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性和极值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$g（x）=f'（x）=2x-2a-2lnx-2（1+\frac{a}{x}）$，
所以$g'（x）=2-\frac{2}{x}+\frac{2a}{x^2}=\frac{{2{{（x-\frac{1}{2}）}^2}+2（a-\frac{1}{4}）}}{x^2}$．
当$0＜a＜\frac{1}{4}$时，g（x）在区间$（0，\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}），（\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}，+∞）$上单调递增，
在区间$（\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}）$上单调递减，
$当x=\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}时有极大值，当x=\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}时有极小值$；
当$a≥\frac{1}{4}$时，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，无极值．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．