Question

13．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得OA⊥OB？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆的标准方程，并得到a，c的关系，联立求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系及判别式求得满足OA⊥OB成立的直线l：y=kx+m存在．

解答 解：（1）由题意：设椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
右焦点到右顶点的距离为1，即a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
则椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得OA⊥OB．理由如下：
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得3+4k²＞m²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化简得，7m²=12+12k²，将k²=$\frac{7}{12}$m²-1代入3+4k²＞m²中，
得3+4×（$\frac{7}{12}$m²-1）＞m²，解得：m²＞$\frac{3}{4}$．
又由7m²=12+12k²≥12，得m²≥$\frac{12}{7}$，即m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m≤-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴实数m的取值范围是：（-∞，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题