Question

20．设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+$\overrightarrow{FC}$|=6，则p=2．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{FC}$分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃）则可知x₁+x₂+x₃=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|Fc|，进而根据|FA|+|FB|+|Fc|=6，求得p，则抛物线方程可得．

解答 解：设向量FA FB FC分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃） 则x₁+x₂+x₃=0，
|FA|+|FB|+|FC|=6，
x_A=x₁+$\frac{p}{2}$同理x_B=x₂+$\frac{p}{2}$，x_C=x₃+$\frac{p}{2}$，
|FA|=x₁++$\frac{p}{2}$++$\frac{p}{2}$=x₁+p，
∴x₁+x₂+x₃+3p=6，
∴p=2，
故答案为：2．

点评 本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．