Question

6．x，y∈R⁺，（1+x）（1+2y）=2，则4xy+$\frac{1}{xy}$的最小值为12．

Answer 1

分析 通过换元，化简函数式，利用基本不等式和对号函数的单调性，即可求出最小值．

解答 解：∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2，
即x+2y=1-2xy≥2$\sqrt{2xy}$，
令$\sqrt{2xy}$=t＞0，则xy=$\frac{{t}^{2}}{2}$，
即1-t²≥2t 则0＜t≤$\sqrt{2}$-1，
则0＜t²=2xy≤3-2$\sqrt{2}$，
不妨令u=2xy∈（0，3-2$\sqrt{2}$]
则4xy+$\frac{1}{xy}$=2u+$\frac{2}{u}$，在区间（0，3-2$\sqrt{2}$]上单调递减，
故当u=3-2$\sqrt{2}$时4xy+$\frac{1}{xy}$取最小值12．
故答案为：12．

点评 本题考查利用基本不等式求函数的最值，需要注意满足的条件：一正、二定、三相等．