Question

11．已知正数a，b满足$\frac{3}{5a}+\frac{1}{5b}=1$，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，z=ax+by，则当3a+4b取最小值时，z的最大值为5．

Answer 1

分析 利用基本不等式先求出a，b，然后由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：∵正数a，b满足$\frac{3}{5a}+\frac{1}{5b}=1$，
∴3a+4b=（3a+4b）（$\frac{3}{5a}+\frac{1}{5b}$）=$\frac{9}{5}+\frac{3a}{5b}+\frac{12b}{5a}+\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}+\frac{3a}{5b}+\frac{12b}{5a}≥\frac{13}{5}+2\sqrt{\frac{3a}{5b}•\frac{12b}{5a}}$=3，
当且仅当a=1，b=$\frac{1}{2}$，取等号．
即目标函数z=ax+by=x+$\frac{1}{2}$y，
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（4，2），
由z=x+$\frac{1}{2}$y，得y=-2x+2z，
由图可知，当直线y=-2x+2z过点A（4，2）时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：4+2×$\frac{1}{2}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了基本不等式的应用，简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．