Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-2）=-f（x）．当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列四个命题：
①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³：
③函数y=f（x）的图象关于x=l对称； ④函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称．
其中正确的命题序号是

①②③

．

Answer 1

分析：对于①根据函数的奇偶性以及f（x-2）=-f（x）可求出函数的周期，从而判定真假，对于②当x∈[1，3]时，则x-2∈∈[-1，1]，可求出x∈[1，3]时函数解析式，从而判定真假；对于③根据f（x-2）=-f（x），可得f（1+x）=f（1-x），则函数y=f（x）的图象关于x=1对称，从而判定真假；对于④根据条件可证函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称，从而确定④的真假．

解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），
∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确．
当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正确．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，故③正确．
∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．故④不正确
故正确的命题有  ①②③，
故答案为：①②③．

点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性，以及运用函数的奇偶性和周期性求函数解析式及函数值、函数图象的对称性．