Question

已知双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为A(-1，0)，过点A作两条直线分别交双曲线的右支于B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)两点，且ABC为正三角形.

(Ⅰ)证明：B、C两点关于x轴对称；

(Ⅱ)设x₁＞2，求b的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)证：∵|AB|=|AC|,∴(x₁+x₂)²+=(x₂+1)²+

∵a=1   ∴

∴(x₁+1)²+b²(-1)=(x₂+1)²+b²(-1)

整理，得  (x₁-x₂)[(x₁+x₂)(1+b²)+2]=0 

∵x₁＞0,x₂＞0,∴(x₁+x₂)(1+b²)+2＞0

∴x₁=x₂ 

∴BC⊥x轴，根据双曲线的对称性，B、C关于x轴对称 

(Ⅱ)解:(法一)根据(Ⅰ)及∠A=,设AB的方程为y=(x+1)

代入x²-=1并整理，得

(3b²-1)x²-2x-(3b²+1)=0 

∵-1,x₁是方程的两根，且x₁＞2

∴3b²-1＞0,且-1·x₁= 

∴

∵b＞0,∴b的取值范围为() 

(法二)根据(Ⅰ)及∠A=60°,得y₁=(x₁+1) 

∵B(x₁,y₁)在双曲线x²-=1上，

∴ 

整理得b²=

∵x₁＞2,∴0＜1+＜3,∴＜b²＜1

∵b＞0,∴＜b＜1,∴b的取值范围是(,1).