Question

15．在直角坐标系中，已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}acosθ\\ y=\sqrt{2}asinθ\end{array}\right.$（ a＞0，θ为参数），设点O（0，0），B（0，$\sqrt{2}$a），F（-a，0），若点P在曲线C上，且位于第二象限内．
（1）求到直线x-y-5a=0的距离为最大值的点P的坐标；
（2）求S_△PB0•S_△PFO的最大值；
（3）设直线$\sqrt{2}$cosθ•x+$\sqrt{3}$sinθ•y=$\sqrt{6}$a（$\frac{π}{2}$＜θ＜π） 分别交x，y轴于点M，N．求$\frac{{{S_{△PBO}}}}{{{S_{△MON}}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式、三角函数的和差公式及其单调性即可得出；
（2）利用三角形面积公式及其三角函数的单调性即可得出；
（3）利用三角形的面积计算公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）设点P$（\sqrt{3}acosθ，\sqrt{2}asinθ）$，则点P到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{3}acosθ-\sqrt{2}asinθ-5a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}asin（θ-α）+5a|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{5}+5}{\sqrt{2}}a$，
当且仅当$cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$sinα=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，sin（θ-α）=-1时取等号，∴P$（-\frac{3\sqrt{5}}{5}a，\frac{2\sqrt{5}}{5}a）$．
（2）设P（$\sqrt{3}$acosθ，$\sqrt{2}$asinθ） （$\frac{π}{2}$＜θ＜π），
∴S_△PBO•S_△PFO=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$a²$\sqrt{3}$cosθ•$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$a²sinθ
=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a⁴sinθcosθ
=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a⁴sin2θ≤$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a⁴，
当θ=$\frac{3π}{4}$时，S_△PBO•S_△PFO=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a ⁴．
∴S_△PBO•S_△PFO的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a⁴．
（3）∵直线$\sqrt{2}$cosθ•x+$\sqrt{3}$sinθ•y=$\sqrt{6}$a （$\frac{π}{2}$＜θ＜π）分别交x，y轴于点M，N，
∴S_△OMN=-$\frac{1}{2}$$\frac{{\sqrt{2}a}}{sinθ}$•$\frac{{\sqrt{3}a}}{cosθ}$=-$\frac{{\sqrt{6}{a^2}}}{2sinθcosθ}$．
∵S_△PBO=-$\frac{{\sqrt{6}{a^2}}}{2}$cosθ，
∴$\frac{{S_{△PBO}^{\;}}}{{{S_{△OMN}}}}$=sinθcos²θ=sinθ（1-sin²θ）．
令t=sinθ，则0＜t＜1，
设f （t）=-t³+t，f′（t）=-3t²+1=-3（t-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）（t+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$），
∴f （t）在（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）上单调递增，在（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，1）上单调递减，故f （t）_max=f （$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，即 $\frac{{S_{△PBO}^{\;}}}{{{S_{△OMN}}}}$≤$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，
当sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时取等号，∴$\frac{{S_{△PBO}^{\;}}}{{{S_{△OMN}}}}$的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查了点到直线的距离公式、三角函数的和差公式及其单调性、三角形面积公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值考查了推理能力与计算能力，属于中档题．