Question

5．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x+2}$．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）当m∈R时，试比较f（m-1）和f（3-m）的大小；
（3）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤x+3．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，利用f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x+2}$，可求函数的解析式；
（2）当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x+2}$单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，从而可得当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）；
（3）当x∈R时，f（x）=$\sqrt{\left|x\right|+2}$，则f（x+t）≤x+3对x∈[m，10]恒成立，从而有$\left\{\begin{array}{l}t≤{x}^{2}+5x+7\\ t≥-{x}^{2}-7x-7\end{array}\right.$对x∈[m，10]恒成立，由此可求适合题意的最小整数m的值．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）为R上的偶函数，
当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x+2}$，
∴f（x）=f（-x）=$\sqrt{-x+2}$…（3分）
（2）当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x+2}$单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）²＞（3-m）²
所以m＞2…（6分）
所以当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；
当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；
当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（3）当x∈R时，f（x）=$\sqrt{\left|x\right|+2}$，则由f（x+t）≤x+3，得$\sqrt{|x+t|+2}$≤x+3，
即|x+t|+2≤（x+3）²对x∈[m，10]恒成立…（12分）
从而有$\left\{\begin{array}{l}t≤{x}^{2}+5x+7\\ t≥-{x}^{2}-7x-7\end{array}\right.$对x∈[m，10]恒成立，因为m≥-2，
所以$\left\{\begin{array}{l}t≤（{x}^{2}+5x+7）_{min}{=m}^{2}+5m+7\\ t≥（-{x}^{2}-7x-7）_{max}{=-m}^{2}-7m-7\end{array}\right.$…（14分）
因为存在这样的t，所以-m²-7m-7≤m²+5m+7，即m²+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以适合题意的最小整数m=-1…（16分）

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查函数的解析式，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值是关键．