Question

设数列{a_n}满足条件：a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列．
（1）设c_n=a_n+1-a_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）求S_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|；
（3）数列{a_n}的最小项是第几项，并求出该项的值．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n+1-a_n}是等差数列，要求通项公式即要知道首项和公差，先根据c₁=a₂-a₁得到此数列的首项，再根据（a₃-a₂）-（a₂-a₁）求出数列的公差，写出通项公式即可；
（2）根据（1）求得的数列{c_n}通项公式得到n小于等于9时的每一项都小于0，先求出前9项的绝对值的和，当n大于9时的每一项都大于0，且为首项为1，公差为1的等差数列共n-9项，利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n即可；
（3）根据a_n-a_n-1=（n-1）-9=n-10，得到a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁；利用等差数列的前n项和的公式化简后，得到一个关于n的二次函数，根据二次函数求最值的方法根据n取正整数得到数列{a_n}的最小项及该项的值．

解答：解：（1）因为数列{a_n+1-a_n}是等差数列，
首项c₁=a₂-a₁=-8，公差d=（-7-0）-（0-8）=1，
所以c_n=-8+（n-1）•1=n-9
即c_n=n-9，n∈N^*；
（Ⅱ）由c_n=n-9＞0得n＞9，
所以，当n≤9时，c_n＜0，S_n=（-c₁）+（-c₂）+…+（-c_n）
=

8+(9-n)

2

n=

17n-n2

2

，所以S₉=36；
当n＞9时，c_n＞0，S_n=S₉+c₁₀+…+c_n
=36+

1+(n-9)

2

(n-9)=

n2-17n+144

2

；
（Ⅲ）由（1）得：a_n-a_n-1=n-10（n∈N，n＞1），
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-10）+（n-11）+…+（-8）+8=

-8+(n-10)

2

(n-1)+8=

1

2

(n2-19n)+17．
当n=9或10时，第9及第10项的值最小为-28．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用二次函数求最值的方法求数列的最值，是一道中档题．