Question

（本小题满分14分）已知二次函数（）．

（1）当0＜＜时，（）的最大值为，求实数的值；

（2）对于任意的 ，总有||．试求的取值范围；

（3）若当时，记，令，求证：成立．

Answer 1

（1）;（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由知图像开口向上的抛物线，对称轴x=，所以 ，故当时取得最大值为，即，即可求出a的值;（2）由于对于任意的，总有||，令，则命题转化为，不等式恒成立， 对t分类讨论，解不等式即可求出结果；（3）由题意，，令，

则，可得

在时单调递增，可得．又，即可求的

．

试题解析：【解析】
（1）由知图像开口向上的抛物线，对称轴x=

所以 ，故当时取得最大值为，

即， 3分

（2）对于任意的，总有||，

令，

则命题转化为，不等式恒成立， 4分

当时，使成立；

当时，有

对于任意的恒成立； ．．7分

，则,故要使①式成立，

则有，又，故要使②式成立，则有，由题．

综上，为所求。 9分

（3）由题意， 10分

令

则

在时单调递增，．

又，

，综上，原结论成立． 14分．

考点：1．二次函数的性质；2．恒成立问题；3．单调性在不等式证明中的应用．