Question

下列四个判断：
①10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
②命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆命题为真命题；
③已知a＞0，b＞0，则由y=(a+b)(

1

a

+

4

b

)≥2

ab

•2

4 ab

⇒ymin=8；
④若命题“?x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则命题“?x∈R，|x-a|+|x+1|＞2”是真命题；
⑤设随机变量ξ～N（0，σ ²），且P（ξ＜-1）=

1

4

，则P（0＜ξ＜1）=

1

4

．
其中正确的个数有（　　）

A．1个

B．2 个

C．3 个

D．4个

Answer 1

分析：①根据所给的10个数据，求出这组数据的平均数，找出这组数据出现次数最多的数据，得到众数是17，把这组数据从小到大排列，最中间两个数字的平均数是中位数，得到三个数字，进行比较得到大小顺序．
②命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆命题为“若tanα＞tanβ，则α＞β”是假命题；
③已知a＞0，b＞0，则由y=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=1+

b

a

+

4a

b

+4≥5+2

b a • 4a b

=9⇒y_min=9；
④若命题“?x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则命题“?x∈R，|x-a|+|x+1|＞2”是真命题；
⑤由题设知P（ξ＜-1）=1-Φ（

1

σ

）=

1

4

，由此能求出P（0＜ξ＜1）．

解答：①生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，总和为147，
∴a=

147

10

=14.7，
样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，c=17；
从小到大排列中间二位的平均数，即b=15．
∵17＞15＞14.7，∴c＞b＞a，
故①不正确；
②命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆命题为“若tanα＞tanβ，则α＞β”，是假命题，故②不正确；
③已知a＞0，b＞0，则由y=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=1+

b

a

+

4a

b

+4≥5+2

b a • 4a b

=9⇒y_min=9，故③不正确；
④若命题“?x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，
则命题“?x∈R，|x-a|+|x+1|＞2”是真命题，故④正确；
⑤∵随机变量ξ～N（0，σ²），且P（ξ＜-1）=

1

4

，
∴P（ξ＜-1）=1-Φ（

1

σ

）=

1

4

，∴Φ（

1

σ

）=

3

4

，
P（0＜ξ＜1）=F（0）-F（1）=Φ（

1

σ

）-Φ（0）=

3

4

-

1

2

=

1

4

．
故⑤正确．
故选B．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．