Question

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的图象如图所示，直线x=

3π

8

，x=

7π

8

是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式并写出函数的单调增区间；
（2）若f（α）=

6

5

且

π

8

＜α＜

3π

8

，求f（α+

π

8

）的值．

Answer 1

分析：（1）结合函数的图象，求出A，T，然后求出ω，根据极值点求出φ，确定函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间；
（2）利用f（α）=

6

5

且

π

8

＜α＜

3π

8

，求出sin(2α-

π

4

)=

3

5

和cos(2α-

π

4

)，化简f（α+

π

8

），然后求出它的值．
法二：利用f（α）=

6

5

且

π

8

＜α＜

3π

8

，求出2sin2α=

7 2

5

，然后化简f（α+

π

8

），求出f（α+

π

8

）的值．
法三：由sin(2α-

π

4

)=

3

5

得sin2α-cos2α=

3 2

5

，求出cos4α，再求出2sin2α=

7 2

5

，然后化简f（α+

π

8

），求出f（α+

π

8

）的值．

解答：解：（1）由题意，

T

2

=

7π

8

-

3π

8

=

π

2

，∴T=π，
又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），（2分）
由f(

3π

8

)=2sin(

3π

4

+φ)=2，解得φ=2kπ-

π

4

(k∈Z)，
又-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=-

π

4

，∴f(x)=2sin(2x-

π

4

)．（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)知，kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈Z)
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)．（7分）
（2）解法1：依题意得：2sin(2α-

π

4

)=

6

5

，即sin(2α-

π

4

)=

3

5

，（8分）
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴0＜2α-

π

4

＜

π

2

，
∴cos(2α-

π

4

)=

1-sin2(2α- π 4 )

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，（10分）
f(

π

8

+α)=2sin[(2α-

π

4

)+

π

4

]
∵sin[(2α-

π

4

)+

π

4

]=sin(2α-

π

4

)cos

π

4

+cos(2α-

π

4

)sin

π

4

=

2

2

(

3

5

+

4

5

)=

7 2

10

f(

π

4

+α)=

7 2

5

．（14分）
解法2：依题意得：sin(2α-

π

4

)=

3

5

，sin2α-cos2α=

3 2

5

得，①（9分）
∵

π

8

＜α＜

3π

8

，∴0＜2α-

π

4

＜

π

2

，
∴cos(α-

π

4

)=

1-sin2(2α- π 4 )

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，（11分）
由cos(2α-

π

4

)=

4

5

得sin2α+cos2α=

4 2

5

②
①+②得2sin2α=

7 2

5

，
∴f(

π

8

+α)=

7 2

5

（14分）
解法3：由sin(2α-

π

4

)=

3

5

得sin2α-cos2α=

3 2

5

，（9分）
两边平方得1-sin4α=

18

25

，sin4α=

7

25

，
∵

π

8

＜α＜

3π

8

∴

π

2

＜4α＜

3π

2

，
∴cos4α=-

1-sin24α

=-

24

25

，（11分）
∴sin22α=

1-cos4α

2

=

49

50

，
又

π

4

＜2α＜

3π

4

，∴sin2α=

7 2

10

，
∴f(

π

8

+α)=

7 2

5

．（14分）

点评：本题是基础题，由三角函数的图象确定函数的解析式，利用函数的解析式，求已知函数的三角函数值，求相关角的三角函数值，考查公式的灵活运用能力，化简能力，常考题目．