Question

已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题设条件知=4，由此可知b=4．
（2）由∈[1，2]，知当x=时，函数f（x）=x+取得最小值2．再由c的取值判断函数的最大值和最小值．
（3）设0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=．由此入手进行单调性的讨论．
解答：解：（1）由已知得=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴∈[1，2]，
于是，当x=时，函数f（x）=x+取得最小值2．
f（1）-f（2）=，
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+；
当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）设0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=．
当＜x₁＜x₂时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在[，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在（0，]上是减函数．
当n是奇数时，g（x）是奇函数，
函数g（x）在（-∞，-]上是增函数，在[-，0）上是减函数．
当n是偶数时，g（x）是偶函数，
函数g（x）在（-∞，-）上是减函数，在[-，0]上是增函数．
点评：本题考查函数的性质和应用，解题要认真审题，仔细求解．