Question

（1）求证：已知：a＞0，求证：

a+5

-

a+3

＞

a+6

-

a+4

（2）已知a，b，c均为实数且a=x²+2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,不等式的证明

专题：推理和证明

分析：（1）直接利用分析法证明方法证明

a+5

-

a+3

＞

a+6

-

a+4

，推出20＞18即可．
（2）利用反证法证明a，b，c中至少有一个大于0．写出命题的否定形式，然后推出与假设矛盾的结果即可．

解答： 证明：（1）（分析法）要证原不等式成立，
只需证 

a+5

+

a+4

＞

a+6

+

a+3

?(

a+5

+

a+4

)2＞(

a+6

+

a+3

)2…（2分）
?（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）…（4分）
即证  20＞18，
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．…（6分）
（2）假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=(x2+2y+

π

2

)+(y2-2z+

π

3

)+(z2-2x+

π

6

)
=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3＞0．
这与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个大于0

点评：本题考查分析法以及反证法证明等式与不等式的命题，考查基本方法分应用，注意命题的否定形式．