Question

已知数列{a_n}各项均不为0，且满足关系式an=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
（1）求证数列{

1

an

}为等差数列；
（2）当a₁=

1

2

时，求数列{

1

an

}的前100项和，并写出数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，由此能证明数列{

1

an

}为等差数列．
（2）由a₁=

1

2

，得

1

an

=2+（n-1）×

1

3

=

1

3

n+

5

3

，由此能求出数列{

1

an

}的前100项和和数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：∵a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2），
∴

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，n≥2，
∴数列{

1

an

}为等差数列．
（2）解：∵a₁=

1

2

，∴

1

a1

=2，
又

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，∴

1

an

=2+（n-1）×

1

3

=

1

3

n+

5

3

，
∴数列{

1

an

}的前100项和：
S₁₀₀=

1

3

(1+2+3+…+100）+

5

3

×100
=

1

3

×

100×101

2

+

500

3

=

5550

3

．
∵

1

an

=

1

3

n+

5

3

，
∴an=

3

n+5

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前100项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．