Question

如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥面ABCD，PD=DA=2，F，E分别为AD，PC的中点．
（1）证明：DE∥面PFB．          
（2）求点E到平面PFB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥面PFB．
（2）由

PE

=（0，1，-1），平面PFB的法向量

n

=(2，-1，1)，利用向量法有求出点E到平面PFB的距离．

解答： （1）证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），

FP

=(-1，0，2)，

FB

=(1，2，0)，

DE

=(0，1，1)，
设平面PFB的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • FP =-x+2z=0 n • FB =x+2y=0

，取x=2，得

n

=(2，-1，1)，
∵

DE

•

n

=0，DE不包含于平面PFB，
∴DE∥面PFB．
（2）解：∵

PE

=（0，1，-1），平面PFB的法向量

n

=(2，-1，1)，
∴点E到平面PFB的距离d=

| PE • n |

| n |

=

|0-1-1|

6

=

6

3

．
∴点E到平面PFB的距离为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．