【题目】已知函数.
(1)若在
单调递增,求
的范围;
(2)讨论的单调性.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)求导得,由于
在
上递增,转化为
在
上恒成立,即
在
上恒成立,根据一元二次不等式的性质,即可求出
的范围;
(2)由(1)得,,令
,得
或
,分类讨论,比较极值点
,
和
,讨论参数范围,确定导数的正负,即可讨论函数
的单调性;
解:已知,可知
的定义域为
,
则,
(1)因为在
上递增,所以
在
上恒成立,
即:在
上恒成立,
只需:即可,解得:
,
所以在
单调递增,则
的范围为:
.
(2)由(1)得,,
令,得
或
,
当时,即:
时,
令,解得:
,令
,解得:
,
则在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
当时,即:
时,
令,解得:
或
,令
,解得:
,
则在区间
,
上单调递增,在区间
上单调递减,
当时,即:
时,
恒成立,则
在区间
上单调递增,
当时,即:
时,
令,解得:
或
,令
,解得:
,
则在区间
,
上单调递增,在区间
上单调递减.
综上得:
当时,
的增区间为
,减区间为
,
当时,
的增区间为
,
,减区间为
,
当时,
的增区间为
, 无减区间,
当时,
的增区间为
,
,减区间为
.
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【题目】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,射线
,
,
与曲线
分别交于异于极点O的四点A,B,C,D.
(1)若曲线关于
对称,求
的值,并求
的参数方程;
(2)若 |,当
时,求
的范围.
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【题目】已知动点到点
的距离比到直线
的距离小
,设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过曲线上一点
(
)作两条直线
,
与曲线
分别交于不同的两点
,
,若直线
,
的斜率分别为
,
,且
.证明:直线
过定点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
(
且
).
(I)求直线的极坐标方程及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线
上的一点,
是曲线
上的一点,
,
,若
的最大值为2,求
的值.
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【题目】如图,已知抛物线,在
轴正半轴上有一点
,过点
作直线
,
分别交抛物线于点
,过点
作
垂直于
轴分别交
于点
.当
,直线
的斜率为1时,
.
(1)求抛物线的方程;
(2)判断是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
与曲线
,(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线,
的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,已知与
,
的公共点分别为
,
,
,当
时,求
的值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,其焦距为
,点E为椭圆的上顶点,且
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆的切线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求证
;
(3)在(2)的条件下,求的最大值.
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