Question

【题目】已知函数．

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)证明： (为自然对数的底)恒成立．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】

(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

(Ⅱ)取，有，即，求出(当且仅当时等号成立)，问题转化为证明在上恒成立即可，设，根据函数的单调性证明即可．

(Ⅰ)解：函数的定义域为，

当时，恒成立，所以在内单调递增；

当时，令，得，所以当时，单调递增；

当时，单调递减，

综上所述，当时，在内单调递增；

当时，在内单调递增，在内单调递减

(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，

特别地，取，有，即，

所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，

只要证明在上恒成立即可

设，则，

当时，单调递减，

当时，单调递增．

故当时， ，即在上恒成立

因此，有，又因为两个等号不能同时成立，

所以有恒成立

或：令，则，

再令，则，

由知，存在，

使得，得，

由可证，进而得证．