Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,，其焦距为，点E为椭圆的上顶点，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆的切线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求证；

（3）在（2）的条件下，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由焦距可求出，由，可求出，，进而得到椭圆方程；

（2）当切线与轴垂直时，求出焦点坐标，进而证得；当切线与轴不垂直时，设切线方程，联立切线方程与椭圆方程，列韦达定理，利用，即可证明；

（3）当切线与轴垂直时，；当切线与轴不垂直时，由、韦达定理以及弦长公式，可求出，借助基本不等式即可求出的最大值.

（1）由题意知，又，∴，∴，，

椭圆的方程为.

（2）（ⅰ）当切线与轴垂直时，

交点坐标为，，；

（ⅱ）当切线与轴不垂直时，

设切线为，，，

由圆心到直线距离为，，

联立直线方程与椭圆方程，得，

，，

，

.

（3）当切线与轴垂直时，；

当切线与轴不垂直时，由（2）知，，

∵，

令，则，

当且仅当时等号成立，.

综上所述，的最大值为.