【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,其焦距为
,点E为椭圆的上顶点,且
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆的切线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求证
;
(3)在(2)的条件下,求的最大值.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由焦距可求出,由
,可求出
,
,进而得到椭圆方程;
(2)当切线与轴垂直时,求出焦点坐标,进而证得
;当切线与
轴不垂直时,设切线方程,联立切线方程与椭圆方程,列韦达定理,利用
,即可证明;
(3)当切线与轴垂直时,
;当切线与
轴不垂直时,由
、韦达定理以及弦长公式,可求出
,借助基本不等式即可求出
的最大值.
(1)由题意知,又
,∴
,∴
,
,
椭圆的方程为
.
(2)(ⅰ)当切线与轴垂直时,
交点坐标为,
,
;
(ⅱ)当切线与轴不垂直时,
设切线为,
,
,
由圆心到直线距离为,
,
联立直线方程与椭圆方程,得,
,
,
,
.
(3)当切线与轴垂直时,
;
当切线与轴不垂直时,由(2)知
,
,
∵,
令,则
,
当且仅当时等号成立,
.
综上所述,的最大值为
.
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【题目】2020年春节期间,全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足,某医院甚至面临断货危机,南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资,得知消息后,立即决定无偿捐赠这批医用防护物资,需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择,且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车,通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下:
所用的时间(单位:小时) | ||||
路线1的频数 | 200 | 400 | 200 | 200 |
路线2的频数 | 100 | 400 | 400 | 100 |
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发,汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发(将频率视为概率).为最大可能在约定时间送达这批物资,来确定这两车的路线.
(1)汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.
(2)若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元,且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计),以上费用均由生产商承担,作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分,具体规则如下(已知两辆车到达时间相互独立,互不影响):
到达时间与约定时间的差x(单位:小时) | |||
该车得分 | 0 | 1 | 2 |
生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款,两车得分和为0,捐款40万元,两车得分和每增加1分,捐款增加20万元,若汽车A、B用(1)中所选的路线运输物资,记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y(万元),求随机变量Y的期望值,(援助总额一次性费用
生产成本
现金捐款总额)
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【题目】已知,图中直棱柱的底面是菱形,其中
.又点
分别在棱
上运动,且满足:
,
.
(1)求证:四点共面,并证明
∥平面
.
(2)是否存在点使得二面角
的余弦值为
?如果存在,求出
的长;如果不存在,请说明理由.
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【题目】某校高三男生体育课上做投篮球游戏,两人一组,每轮游戏中,每小组两人每人投篮两次,投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组,小明、小亮投篮投进的概率分别为
.
(1)若,
,则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率;
(2)若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为
次,则理论上至少要进行多少轮游戏才行?并求此时
的值.
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【题目】已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为
,椭圆的一个焦点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,
为椭圆上的两个动点,直线
,
的斜率分别为
,
,当
时,
的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】已知抛物线和圆
,倾斜角为45°的直线
过抛物线
的焦点,且
与圆
相切.
(1)求的值;
(2)动点在抛物线
的准线上,动点
在
上,若
在
点处的切线
交
轴于点
,设
.求证点
在定直线上,并求该定直线的方程.
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【题目】已知函数.
(I)当a=-1时,
①求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
②求函数f(x)的最小值;
(II)求证:当时,曲线
与
有且只有一个交点.
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