Question

【题目】已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.

（1）求证：四点共面，并证明∥平面.

（2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）不存在点使之成立.见解析

【解析】

(1) 在线段上分别取点,使得,进而得到与即可.

(2) 以为原点,分别以,及过且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系,再求解平面的法向量与平面的法向量,再设,,再根据二面角的计算方法分析是否存在使得二面角为的余弦值为即可.

解：（1）证法1：在线段上分别取点,使得,易知四边形是平行四边形,所以,联结,

则,且

所以四边形为矩形,故,同理,

且,故四边形是平行四边形,所以,所以

故四点共面

又,平面,平面,

所以平面.

证法2：因为直棱柱的底面是菱形,∴,底面,设交点为,以为原点,分别以,及过且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.则有,,,,设,,则,,,,,,所以,故四点共面.又,平面,平面,所以平面.

（2）平面中向量,,设平面的一个法向量为,则,可得其一个法向量为.

平面中,,,设平面的一个法向量为

,则,所以取其一个法向量.

若,则,

即有,,解得,故不存在点使之成立.