Question

【题目】已知函数，其中．

（I）求的单调区间；

（Ⅱ）若R上有两个不同的零点，且，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）见解析（Ⅱ）．

【解析】

（I）求导得,讨论和即可解得单调区间;

（Ⅱ）要使得R上有两个不同的零点，且，由（I）可知取得极小值，极小值小于0,可解得.借助引理1：;引理2：证明存在，使．，使．即证得符合题意.

（I）．

当时，，在R上单调递减；

当时，由解得，

当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上，时，在R上单调递减；

时在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）引理1：．

证明：令，

则，，

在上单调递增，又，

．在上单调递增，

又，．

引理2：．

证明：．

令，

则，在上单调递减．

，故得证．

下求实数的取值范围．由（1）知要使有两个零点，，

此时，．

令，解得．

又，，使．

由引理1和引理2知：

，．

使

．

，使．

综上：．