【题目】四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,
,二面角S-BD-C的余弦值为
.
(I)证明:平面平面SBD;
(Ⅱ)求二面角A-SD-C的余弦值.
【答案】(I)见解析(Ⅱ)
【解析】
(I) 连接AC,交BD于点O.连接SO易证得,
即
平面SAO,得到
,利用余弦定理解得
,由
可证得
,即可得到
平面SBD,即可证得结论;
(Ⅱ)建系,设和
分别为平面SAD、平面SCD的法向量,求出法向量,利用公式计算即可得出结果.
(Ⅰ)连接AC,交BD于点O.连接SO菱形ABCD中,,且O是AC和BD的中点.
因为,所以
,
是二面角S-BD-C的平面角,
即,
.
又,所以
平面SAC,
.
中,由余弦定理知:
.
所以,即
,
,
又,所以
平面SBD,
又平面SAB,所以平面SAB⊥平面SBD.
(Ⅱ)如图,分别以,
为x,y轴的正方向,建立空间直角坐标系
.
则点,
,
,
,
,
.
设和
分别为平面SAD、平面SCD的法向量,
则由,得
,
取,
由,得
.
取.
.
故二面角A-SD-C的余弦值为.
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【题目】已知圆,圆
,如图,
分别交
轴正半轴于点
.射线
分别交
于点
,动点
满足直线
与
轴垂直,直线
与
轴垂直.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
交曲线
与点
,射线
与点
,且交曲线
于点
.问:
的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
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【题目】在极坐标系中,过曲线外的一点
(其中
,
为锐角)作平行于
的直线
与曲线分别交于
.
(Ⅰ) 写出曲线和直线
的普通方程(以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建系);
(Ⅱ)若成等比数列,求
的值.
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【题目】如图,在矩形中,
,
,
分别在线段
和
上,且
,
为
中点,以
为折痕将
折起,使点
到达点
的位置,且平面
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)点为线段
的中点,求三棱锥
的体积.
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【题目】已知a,b,c为正数,f(x)=|x+a|+|x+b|+|x﹣c|.
(1)若a=b=c=1,求函数f(x)的最小值;
(2)若f(0)=1且a,b,c不全相等,求证:b3c+c3a+a3b>abc.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
,
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若函数在
处的切线平行于
轴,是否存在整数
,使不等式
在
时恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份,一代代治沙人为了固沙、治沙,改善生态环境,不断地进行研究与实践,实现了沙退人进.年,古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表,被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果,治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了
个风蚀插钎,以测量风蚀值.(风蚀值是测量固沙效果的指标之一,数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小,说明固沙效果越好,数值为
表示该插钎处没有被风蚀)通过一段时间的观测,治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值(所测数据均不为整数),并绘制了相应的频率分布直方图.
(Ⅰ)根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于”的概率;
(Ⅱ)若一个插钎的风蚀值小于,则该数据要标记“
”,否则不标记根据以上直方图,完成列联表:
标记 | 不标记 | 合计 | |
坡腰 | |||
坡顶 | |||
合计 |
并判断是否有的把握认为数据标记“
”与沙丘上插钎所布设的位置有关?
附:.
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【题目】某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图),上面为花篮,支架由三根细钢管组成,考虑到钢管的受力和花篮质量等因素,设计支架应满足:①三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计),且与地面所成的角均为;②架面与架底平行,且架面三角形
与架底三角形
均为等边三角形;③三根细钢管相交处的节点
分三根细钢管上、下两段之比均为
.定义:架面与架底的距离为“支架高度”,架底三角形
的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.
(1)当时,求“支架高度”;
(2)求“支架需要空间”的最大值.
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