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精英家教网如图,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=
5
a.
(1)证明:EB⊥FD;
(2)求点B到平面FED的距离.
分析:(1)欲证EB⊥FD,而FD?平面BFD,可先证BE⊥平面BFD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面BFD内两相交直线垂直,而BE⊥AC,根据线面垂直的性质可知FC⊥BE,又FC、AC?平面BFD,FC∩AC=C,满足定理所需条件;
(2)利用勾股定理求出FC,根据直角三角形的面积公式求出S△EBD与S△EFD,根据等体积法可得
1
3
S△EBD•FC=
1
3
S△EFD•h建立方程解之即可求出点B到平面FED的距离.
解答:解:(1)证明:∵点E为弧AC的中点
∴∠ABE=
π
2
,即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED,BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD,FC∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD
(2)FC=
BF2-BC2
=
5a2-a2
=2a
S△EBD=
1
2
BE•BD=
1
2
a•2a=a2

在Rt△FBE中,EF=
6
a

而FD=ED=
5
a

∴S△FED=
1
2
FE•HEF=
1
2
6
a
5a2-(
6
a
2
)
2
=
21
2
a2

由等体积法可知:
1
3
S△EBD•FC=
1
3
S△FED•h
解得:h=
4
21
21
a

即点B到平面FED的距离为
4
21
21
a
点评:本题主要考查了线面垂直的判定与性质、以及点到平面的距离的度量和等体积法的应用等有关知识,同时考查了推理能力、计算能力,转化与划归的思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BDE,FB=
5
a

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23
GD,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FC=2r.
(1)证明:EB⊥FD;
(2)将△FCG(及其内部)绕FC所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积.

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45
,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FC=2r.
(1)求异面直线ED与FC所成角的大小;
(2)将△FCG(及其内部)绕FC所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积.

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科目:高中数学 来源:浙江省期中题 题型:解答题

如图,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面
AEC外一点F满足FC⊥平面BDE,FB=
(1)证明:平面BEF⊥平面BDF;
(2)求二面角F-DE-B的正切值。

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