Question

2．已知双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角的取值范围[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，2]
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\sqrt{2}，2$]
• D． （1，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，由题意可得1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．

解答 解：双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由一条渐近线的倾斜角的取值范围[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
则tan$\frac{π}{4}$≤$\frac{b}{a}$≤tan$\frac{π}{3}$，
即为1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，
即有1≤$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤3，
即1≤$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$≤3，
则2≤$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≤4，
即$\sqrt{2}$≤e≤2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．