Question

11．讨论关于x的方程e^x-kx=0解的个数．

Answer 1

分析 方程e^x-kx=0解的个数，即为k=$\frac{{e}^{x}}{x}$的根的个数，令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出导数，求得单调区间和极值，画出f（x）的图象，讨论k，由直线y=k和f（x）的图象的交点个数，即可判断解的个数．

解答 解：方程e^x-kx=0解的个数，即为
k=$\frac{{e}^{x}}{x}$的根的个数，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜0，或0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x=1处取得极小值e．
图象如右图：
当k＜0或k=e时，函数f（x）的图象与直线y=k仅有一个交点，方程解的个数为1；
当k＞e时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，方程解的个数为2；
当0≤k＜e时，函数f（x）的图象与直线y=k没有交点，方程解的个数为0．
综上可得，当k＜0或k=e时，方程的解的个数为1；
当k＞e时，方程解的个数为2；当0≤k＜e时，方程解的个数为0．

点评 本题考查函数和方程的转化思想的运用，考查分类讨论和数形结合思想的运用，属于中档题．