Question

6．已知a_n=$\sqrt{1×2}$+$\sqrt{2×3}$+$\sqrt{3×4}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$（n∈N^*），求证：$\frac{n（n+1）}{2}$＜a_n＜$\frac{1}{3}$（n+1）³．

Answer 1

分析 利用放缩法，结合等差数列的求和公式，即可证明结论．

解答 证明：∵n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，
∴1+2+…+n＜$\sqrt{1×2}$+$\sqrt{2×3}$+$\sqrt{3×4}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$＜2+3+…+n+1，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＜$\sqrt{1×2}$+$\sqrt{2×3}$+$\sqrt{3×4}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{n（n+3）}{2}$＜$\frac{1}{3}$（n+1）³．
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＜a_n＜$\frac{1}{3}$（n+1）³．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法，考查等差数列的求和公式，正确放缩是关键．