Question

1．已知椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，焦点在x轴上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过椭圆的右焦点且斜率为2，交椭圆于A、B两点，求AB的中点坐标和弦长AB．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．
（2）右焦点F（$\sqrt{3}$，0）．可得直线l的方程为：y=2x-2$\sqrt{3}$．设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）．与椭圆方程联立可得：17x²-32$\sqrt{3}$x+44=0，利用中点坐标公式、根与系数的关系可得M，及其|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）右焦点F（$\sqrt{3}$，0）．
∴直线l的方程为：y=2（x-$\sqrt{3}$），即y=2x-2$\sqrt{3}$．
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为17x²-32$\sqrt{3}$x+44=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32\sqrt{3}}{17}$，x₁x₂=$\frac{44}{17}$．
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{16\sqrt{3}}{17}$，y₀=2x₀-2$\sqrt{3}$=$-\frac{2\sqrt{3}}{17}$，
∴M$（\frac{16\sqrt{3}}{17}，\frac{-2\sqrt{3}}{17}）$．
|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5[（\frac{32\sqrt{3}}{17}）^{2}-4×\frac{44}{17}]}$=$\frac{20}{17}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．